什么是分類討論？

因題目已知條件存在一些不確定因素，解答無法用統(tǒng)一的方法或者結(jié)論不能給以統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題劃分為若干類，或若干個(gè)局部問題來解決。在全國各地中考數(shù)學(xué)中，分類討論有關(guān)的試題一直是考試熱點(diǎn)，題型有選擇題、填空題和解答題，這給我們傳遞了一個(gè)信號，分類討論依然是2023年中考數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)和熱點(diǎn)。

(資料圖)

分類討論題難度大，出題角度多，可以很好地考查同學(xué)們思維的邏輯性、縝密性、系統(tǒng)性等。不過，縱觀歷年中考數(shù)學(xué)真題，發(fā)現(xiàn)很多考生面對分類討論的時(shí)候，容易漏解，從而丟失分?jǐn)?shù)。

因此，為了能更好幫助大家應(yīng)對中考復(fù)習(xí)，今天我們一起簡單來聊聊分類討論有關(guān)的解題方法和題型。

【解題方法一】

對問題進(jìn)行分類討論時(shí)，必須按同一標(biāo)準(zhǔn)分類，且做到不重不漏。解題中，分類討論一般分為四步：

第一，確定討論的對象以及討論對象的取值范圍；

第二，正確選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，合理分類；

第三，逐類、逐段分類討論；

第四，歸納并做出結(jié)論。

分類討論有關(guān)中考試題分析：

如圖，直線y=﹣3x/4+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+3x/4+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，請求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值？

（3）在（2）的結(jié)論下，過點(diǎn)E作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)M，連接AM，點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

考點(diǎn)分析：

二次函數(shù)綜合題．

題干分析：

（1）首先根據(jù)直線y=﹣3x/4+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y=ax2+3x/4+c經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，求出a\c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．

（2）首先過點(diǎn)E作y軸的平行線EF交直線BC于點(diǎn)M，EF交x軸于點(diǎn)F，然后設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)是（x，﹣3x2/8+3x/4+3），則點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x，﹣3x/4+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進(jìn)而判斷出當(dāng)△BEC面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少即可．

解題反思：

（1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．

（2）此題還考查了函數(shù)解析式的求法，以及二次函數(shù)的最值的求法，要熟練掌握．

（3）此題還考查了三角形的面積的求法，要熟練掌握．

【解題方法二】

引起分類討論的七種基本形態(tài)。并非所有的數(shù)學(xué)問題都需要進(jìn)行分類討論，但若涉及以下七種情況，常常需要進(jìn)行分類討論使問題簡單化。

（1）概念分段定義。像絕對值這樣分段定義的概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中還有直線的斜率等，當(dāng)這些概念出現(xiàn)時(shí)，一般要進(jìn)行分類討論。

（2）公式分段表達(dá)。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常要用到數(shù)學(xué)公式，若該公式是分段表達(dá)的，那么在應(yīng)用到這些公式時(shí)，需分類討論。

（3）實(shí)施某些運(yùn)算引起分類討論。在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不論是化簡、求值還是論證，常常要進(jìn)行運(yùn)算，若在不同條件下實(shí)施這些運(yùn)算時(shí)會(huì)得到不同結(jié)果時(shí)，會(huì)引起分類討論。

（4）圖形位置不確定。如果圖形的位置不確定，常常會(huì)引起分類討論，因此，如果圖形可能處于不同位置并且影響問題的結(jié)果時(shí)，首先要有分類討論的意識(shí)，其次要全面考察，分析各種可能的位置關(guān)系，然后合理分類討論，防止漏解。

（5）圖形的形狀不同。當(dāng)圖形的形狀不確定時(shí)，要對各種可能出現(xiàn)的形狀進(jìn)行分析討論。

（6）字母系數(shù)參與引起分類討論。字母系數(shù)的出現(xiàn)，常常會(huì)使問題出現(xiàn)多種不同的情況，從而影響問題結(jié)果，因此引起分類討論。

（7）條件不唯一引起分類討論。由于條件不唯一，可能引起方程類型不確定，曲線種類不確定，位置關(guān)系不確定，形狀不確定等出現(xiàn)，需要對不同情況合理分類，正確討論。