在日常的數學教學中，我們的學生用墨斗體驗點動成線，用橢圓規浪漫地認識橢圓，用日晷、滴漏認識時間，用激光測距儀、測距測畝輪、手機軟件、測繩、直尺甚至身體去認識長度。

可以看到，在學生學習長度的過程中，濃縮融合了人類的整個測量史，了解了測量的演進和文化，所依靠的就是這幾種學具，而在我們學校的全景數學體驗館中，萬物皆可為學具，當然也包括我們的老師。

突破傳統學具認識和使用的天花板

(相關資料圖)

我們努力讓每個知識點都可體驗、可操作、可躬行、可六覺，突破“頸上數學”的窘境，真正實現了具身地學、全身心地學。當學生使用完這么多的學具，也就在一定程度上，涵養好了學生各方面的動手能力和行動的素養。

這根紙條是每一屆學生一開學都會“動一動”的學具，它的背后是我們對學習內容的突破，是創編的1-6年級的非傳統數學。

一開始，我讓孩子們把紙的兩端接起來，形成一個圈，大家都折成了一個圈。接著，我啟發學生，就像紙圈一樣，可以正著接也可以反著接，所以凡事都可以正著做一做，反著做一做，正著想一想，反著想一想，很多事一旦反過來做，反過來想，可能就有不一樣的結果和發現。就像這個紙圈，正著接的圈剪開是兩個圈，反著接的圈剪開竟成了一個圈，孩子們在倍感震撼和驚奇的同時，也啟迪了他們對數學的興趣。

通過學具的演示，我告訴大家，很多事情，不能只顧著急著做，要適時地暫停下來，從頭回顧、記錄、反思實驗的過程，總結下經驗再繼續。例如數學的猜想，先實驗再記錄，然后從頭觀察找到規律，最后按規律去猜想。我們啟蒙了孩子追問、聯想、猜想的意識，還在無形之中給孩子們講述了非歐幾何的內容，讓他們認識了空間圖形，更看見了數學的另外一張面孔，高度激發了學生的興趣和好奇心，超越了數學涵養，乃至以后生活、工作都不可或缺的通用素養。

這正是我們一直主張和踐行的數學教育，一定不止于數學。教師每一節課都應去思考，除了數學，還可以讓孩子獲得哪些可遷移的，超越數學的通用素養，實現學生超越學科的成長？

打破"視聽學、紙上學、學紙上"的

天花板

我們提倡數學教育的“生活實驗”是指讓學生在自己真實的生活情境中，以生活本來的樣子真實地生活，真實地去做真實的事兒，真實地經歷生活的實際，解決真實的生活問題，獲得真實生活能力和生活經驗，真的能做成事兒，并自然地習得相應的知識、技能和必備的核心素養！我以南京赫賢學校學生剛剛做過的“我來分餅”和“我定柜位”兩個典型的“生活實驗”來介紹一下我們的教學設計、實施及反思。

7個一樣的 餅平均分給8個人，你會怎么分呢？

我調查過20多位老師（其中，小學數學特級教師2人，中學特級教師兼校長1人）、3位國家教育媒體記者、2位我們學校打掃衛生的阿姨、還有我一位徒弟的媽媽（居家主婦）。打掃衛生的阿姨、家庭主婦給的分配方案完全不同，而老師給出的大都是如下兩種分配方案：一是把每個餅平均分成8等份，一共分成了56等份，每個人取其中7份；二是8個摞在一起，平均切成8等分，8個餅摞在一起，接近20厘米厚，用刀平均分成8份根本不現實。

調查完后，我回到班里，組織二年級兩個班的孩子分別進行了生活實驗。之所以稱之為生活實驗，而不是教學，因為，我們是真的拿了真的餅，真的給孩子，讓孩子們真實操作，自己去分、取到屬于自己的餅。它就是活生生的真實生活，做真真切切的事兒。

此時，二年級的孩子剛剛學習完表內乘法，還沒學過除法。我把孩子每8人一個小組，每個小組一個操作臺。每個操作臺上有一個大菜板，一把刀，7個白面餅，10余副衛生手套。一開始，先明確他們要做的事兒：張老師老家在山東，給你們帶來一些山東面餅，但因餅的數量有限，張老師一合計，你們每組分7個餅剛好夠分。現在你們要想辦法把7個餅平均分給小組里的8個人，分配好后，可以帶回家和家人一起分享。

要做的事兒明確后，我就在旁邊欣賞、激勵、提醒注意用刀安全和衛生，至于怎么分， 完全放手讓孩子自己去嘗試和研究。經過嘗試、分析和討論，5組孩子一共給出了以下四種分餅方案。

第1種：每個餅平均分成8份，每人分得7小塊。

第2種：把其中6個餅平均分成4份，一共分24大塊，剩下的一個平均分成8小塊，每人分得3大塊和1小塊。

第3種：把其中4個餅平均分成2份，一共分8大塊，剩下的3個都平均分成8小塊，一共分成24小塊，每人分得1大塊和3小塊。

第4種：把其中4個餅平均分成2份，一共分8大塊，把其中2個餅都平均分成4份，一共分8中塊，剩下的1個平均分成8小塊，每人分得1大塊、1中塊和1小塊。

在分法的分享交流中，最后孩子們一致選擇最后一種分法。因為他們認為這種分法又省事（切的刀數少）、切掉的渣最少、塊數也最少、拿到手的餅更整、更方便、看著也更舒服……

南京赫賢學校的學生在分餅

原來，學校打掃衛生的阿姨和我徒弟媽媽（家庭主婦）的分法，就是二年級孩子發現并最終選擇的分餅方案：先分4個，每人1/2個；再分2個，每人1/4個，最后一個8等分，每人1/8個。

還沒學除法的二年級孩子、打掃衛生的阿姨和家庭主婦竟然給出了比老師們更合理、更生活、更現實的分法。這種最生活的分法其實就是7/8=1/2+1/4+1/8，這正是印度分數都寫成分子是1的分數之和的根源和依據。

后來，我把二年級的分法轉達給了我前期調查的數學老師們，那位參與調查的初中數學特級校長發出這樣的感慨：“（我）變成2年級了，知識越多似乎越笨了。”徒弟的媽媽也對徒弟感嘆到：“哎，到底不是做事的人，想的都是數學方法。”

原來，數學真的不等于生活，做題真的不等于做事，解決數學問題的能力根本不等于解決實際問題的能力。而我們數學教育所有課程和教學都應該更多地指向生活、指向了做事、指向了真題解決。

針對行列和數對的學習，我們設計了一系列游戲。

（1）讓孩子自己扎氣球，記住自己扎破的氣球的列與行，并用數對記錄（就是自己的幸運獎位置）；

（2）根據自己記錄的數對，在大櫥子上找到相應的位置，取出自己幸運獎品；

（3）學生角色扮演：新上崗的司藥，為自己編制抓藥的索引。

一開始，學生做的索引是數對+藥名，如：（1，1）地膚子 ，（1，2）茯苓 ，（1，3）冬瓜子……在模擬實際找藥時，發現這樣編根本不能用，還不如直接找呢，這就是典型的數學都會，用的也對，就是解決不了實際問題。經過討論，學生們決定改用藥材首字首字母+數對的方式作為索引，再操作時他們發現數對起作用了。

而面對首字首字母相同的藥材，學生們又發明了首字首字母+次字首字母+數對的方式來解決問題。

有的學生還發現了這樣的現實和問題：有的藥店的藥柜，每個抽屜左、右兩邊裝著不同藥。學生針對此種情況，又發明了“字母+數對+?或?”的索引……

如此這般，學生在類似的“數學教育系統進階的生活實驗”中，凡事總能多想一點，多看一段，更進一步，邊學邊用，邊用邊學，學后續用，解決實際問題的能力和素養逐步地、進階地走向全面、完整、扎實、深刻、靈活、創新……我們數學教育中的“數學生活實驗”不僅僅是一般意義上的動手操作，而是動真格的——是“做真事、真做事”的行動，是老師和學生一起過美好的數學生活，做美好、真實的事兒，而且在學會做事兒的同時自然地就學會了相應的知識，毓養了相應的數學核心素養。一如杜威所言：教育是給學生一些事情去做，不是給他們一些東西去學，結果他們自然地就學到了東西。

其實不僅僅是數學，其他各科亦如此。如果學校課程和教學更多地“生活實驗化”（在真實的生活中真實經歷，獲得實際的生活經驗），就可以在更大程度上打破“視聽學、紙上學、學紙上；會做題，不會做事，會解決數學題，不會解決實際問題，高分低能”的學習困局和怪圈。

比如，我們在操場奔跑中研究“速度”，在馬路上走出“里和千米”，瓶瓶罐罐中品嘗出“分數和倍”的味道，在承包的菜地里解決“壟數、肥料、種子、覆膜”等真題，在餐廳里完成最受歡迎美食的統計，在公園里斷“方向與位置”，在校園里解決真實的周長和面積，在間隔遍布的中庭和馬路邊解決植樹問題等。原來課堂完全可以有另一種樣子，可以有第2空間，第3空間……第n空間。

南京赫賢學校的學生在菜地里解決真實問題

我們以天地為課堂，以萬物為學材，胸懷天下，格物致知，知行合一，這本身就是最接地氣的方式，好的習慣，高的境界和素養。

我們還挖空心思，千方百計打破數學學習情感和心理的天花板，更多地創生各種計算的游戲和活動。讓孩子玩加法器，玩數學飛行棋……

南京赫賢學校的學生通過“加·乘五子棋”進行學習

大家可能會說，那他玩幾次不就膩了嗎？是啊，教師打心底就得悅納一個現實，小孩子就是愛變的，所以我們要先于孩子做出改變，以萬變應萬變。不斷開發各種數學學具、游戲，讓學生熱血沸騰，樂此不疲，玩得開心，玩得快樂！

我們深知，興趣、好奇心、熱愛、信心，這些健康的情感和心理是學習，也是做好任何事情最重要的基礎和根本。回到主題，老師還需要捅破什么天花板呢？我們認為，不單單是老師要捅破天花板，更重要的是，我們用心、用愛和信仰引導孩子們自己動手，不斷地捅破各種天花板，讓孩子自己看見更廣闊的天空，更豐富的世界，看見更遠的山。

作者 | 張宏偉（特級教師，北京全景式數學研究中心主任、南京赫賢學校學術總監）

來源| 文章據作者在第九屆中國教育創新年會主論壇主題演講整理

責編 | 雪峰