各位同學(xué)們大家好！我是李永樂老師。

之前我做了兩個系列節(jié)目：《漫談相對論》和《從亞里士多德到牛頓的宇宙》，我想，第三個系列節(jié)目就換換口味，講講數(shù)學(xué)的一個小分支，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上又很有用的學(xué)問——博弈論吧。

我在北大讀書時，學(xué)過一點(diǎn)經(jīng)濟(jì)學(xué)，但是沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)過博弈論這門課。今天所講的都是我個人對博弈論的理解，如果有不準(zhǔn)確的地方，歡迎大家批評指正。在這個系列中，我把之前零零散散講過的博弈論內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)，希望大家喜歡我的講述。

(資料圖片僅供參考)

“弈”這個字，原本意思是下棋。請問各位同學(xué)，你會下棋嗎？你下棋輸過嗎？如果我說，圍棋也好，象棋也好，其實(shí)都是有必勝法的，你們相信嗎？

我們假設(shè)有一個非常簡單的游戲，先手A和后手B各做一次決策（選擇上路或者下路），根據(jù)二人決策的結(jié)果，游戲的勝負(fù)如下。通過這個表格，你能知道游戲的結(jié)果是誰獲勝嗎？

也許有同學(xué)認(rèn)為：A的贏面大一些，因?yàn)锳有2種可能會贏，而B只有一種可能會贏。事實(shí)并非如此。這盤棋的結(jié)果一定是和棋（除非有一方實(shí)在腦子不太好用，才會輸?shù)簦?/p>

我們可以畫一個游戲樹來解釋：

我們看：如果先手A選擇上方，游戲進(jìn)入到一個由進(jìn)行B進(jìn)行決策的分支，這叫做一個子游戲。在這個子游戲中，B選上方就A獲勝，B選下方就B獲勝，B要選擇對自己有利的，所以他一定選擇下方。這個子游戲的結(jié)局是固定的，就是B獲勝。

如果先手A選擇下方，游戲進(jìn)入到另一個由B做決策的子游戲中，這時B選上方就A獲勝，B選下方就和棋，B要選擇對自己有利的，所以這個子游戲的結(jié)局一定是和棋。

我們再來考慮A：若A走上方，進(jìn)入子游戲1，一定B獲勝；A走下方，進(jìn)入子游戲2，一定和棋。A也要選擇對自己有利的，所以A選擇下方。最終的游戲就是和棋。

如果游戲復(fù)雜一些，也不過是分支變多，長度變長，但是只要我們從最后端的子游戲開始，一層層倒推，就一定能推算出在最優(yōu)策略下，游戲到底是先手勝，還是后手勝，還是和棋，這種勝負(fù)是不可避免的。

其實(shí)，象棋也好，圍棋也好，它們與我剛才舉的例子沒有本質(zhì)不同，只是復(fù)雜度高得多。而且，由于制定了一些勝負(fù)以及和棋規(guī)則，下棋的步驟也是有限的。

理論上講，我們是可以畫出圍棋的游戲樹的，如果我們遍歷了所有情況，就能知道圍棋結(jié)局到底是先手必勝，還是后手必勝，或者一定是和棋了。只是，這個過程過于復(fù)雜。

以圍棋為例。圍棋在19x19=361個格子上輪流放棋子，所以每個格子有黑白空三種可能，整個圍棋棋盤上的狀態(tài)數(shù)上限是3361=1.7×10172，去掉一些重復(fù)和對稱，圍棋的狀態(tài)復(fù)雜度大約是10172量級。

要知道：宇宙中的原子個數(shù)只有大約1072個，就算用宇宙中的一個原子代表一個圍棋局面，窮盡宇宙中所有的原子，也不能表示出圍棋所有的棋局局面。

圍棋的游戲樹就更難畫了。因?yàn)閲蹇梢蕴嶙樱辛丝瞻椎牡胤娇梢岳^續(xù)下，所以并不一定是填滿了棋盤就結(jié)束。不過，我們可以估計(jì)游戲樹的總層數(shù)和每一層的平均分支。根據(jù)統(tǒng)計(jì)和計(jì)算：一盤圍棋的平均手?jǐn)?shù)是150手，每一手的平均分支數(shù)是250種，所以整個圍棋的游戲樹復(fù)雜度大約是250150≈10360。

理論上講，如果我們遍歷了所有10360種情況，就能知道圍棋結(jié)局到底是先手必勝，還是后手必勝，或者一定是和棋了。但是，這個計(jì)算量實(shí)在太大了。之前世界上最快的計(jì)算機(jī)富岳每秒最高可以計(jì)算100億億次浮點(diǎn)運(yùn)算，假如1次浮點(diǎn)運(yùn)算就能算出一條路徑，那么算完所有圍棋游戲的可能情況，需要10342秒，而宇宙的年齡只有138億年，大約只等于1017秒。

雖然我們無法計(jì)算出這個最優(yōu)策略，但是顯然，這個最優(yōu)策略一定是存在的。

不僅僅是圍棋，所有的明棋都是這樣，只不過復(fù)雜度不同而已。

1913年，數(shù)學(xué)家策梅洛證明：對于一個兩人的完全信息游戲，一定存在一個策略，要么先手一定獲勝，要么后手一定獲勝，要么雙方一定平局，這就是澤梅洛定理。

策梅洛

策梅洛定理告訴我們：假設(shè)雙方都是棋類大師，對游戲樹了如指掌，這時候他們一定會采用統(tǒng)一的策略，讓游戲向固定的方向發(fā)展，最終的結(jié)局也是固定的。

因?yàn)椋魏我粋€人單方面的改變決策，都會對自己不利。正如我們剛才舉例的那個小游戲，如果A改變決策，將會讓B獲勝；如果B改變決策，將會讓A獲勝，雙方都為了自己的利益考慮，一定會出現(xiàn)A選擇下路，B也選擇下路的情況，最后游戲就一定是和棋。

實(shí)際上，在許多的博弈過程，都和下棋很像，參與博弈的幾方能采取的策略都是有限的。在1950年，著名的數(shù)學(xué)家約翰納什證明了一個更加普遍的結(jié)論：

只要參與博弈的幾方策略都是有限的，那么就一定存在一種平衡狀態(tài)，大家都會采用這種平衡策略，而沒有單方面改變策略的動力。這種平衡狀態(tài)就叫做納什均衡。這個規(guī)律就叫做納什定理。

剛才舉的下棋的例子，最優(yōu)策略就是納什均衡，策梅洛定理其實(shí)是納什定理的一個例子。在我們所處的世界中，無論是政治還是經(jīng)濟(jì)，都充滿了博弈論和納什均衡的例子。你想了解更多嗎？關(guān)注我，下一回繼續(xù)帶大家漫談博弈論。